Существительные мужского и среднего рода, оканчивающиеся на -ий и -ие, имеют в предложном падеже в безударном положении, в отступление от общего правила, окончание -и, а не -е. Например: о селе, но о поражении; о дожде, но о санатории. У слов женского рода на -ия такое происходит в двух падежах – дательном и предложном. Ср.: к воде, о воде, но к России, о России.

Аббревиатура НАТО используется как существительное мужского рода (в результате влияния сочетаний со словами альянс, блок, договор), женского рода (по опорному слову организация) и среднего рода (по фонетическому облику, ср. с другими словами на -О: пальто, метро, кино). Испытывает колебания в роде аббревиатура ЮНЕСКО (фонетический облик подсказывает средний род, а опорное слово организация – женский). АСЕАН используется как существительное женского рода (опорное слово ассоциация).

Согласно правилам, существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме единстенного числа, если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например: в правой и левой руке (половине, стороне и т. п.); оперное и балетное искусство; промышленный и аграрный переворот; учащиеся среднего и старшего школьного возраста.

Поэтому верно: не надо делить команды на первый и второй сорт.

1. Корректно слитное написание в первых двух случаях.

2. Возможны оба варианта.

3. Здесь тоже возможны варианты. «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка фиксирует Сочи как несклоняемое существительное мужского и среднего рода. А согласно словарю-справочнику «Географические названия» Е. А. Левашова Сочи — неизменяемое существительное множественного числа, но рассматривается также как вариант мужской род, единственное число.

Корректор прав. Кемерово – существительное среднего рода. Если существительное обозначает географический объект, то его род определяется родом слова, которое обозначает тип объекта (город, река, озеро и т. д.) – такое правило, действительно, существует, но касается только несклоняемых существительных (Тбилиси мужского рода, так как это город, Миссисипи женского рода, так как это река). Кемерово – изменяемое слово (в Кемерове, из Кемерова). Ср.: Москва – слово женского рода, хотя это тоже город.

Правильно: волчишка (см.: Русский орфографический словарь РАН. М., 2007).

Правила таковы. Существительные с суффиксом -ишк- оканчиваются в именительном падеже ед. числа на -а или -о: в словах мужского рода одушевленных и в словах женского рода окончание -а, в словах мужского рода неодушевленных и в словах среднего рода окончание -о. Ср.: мальчишка, братишка, мыслишка  и домишко, городишко, пальтишко. Волчишка – одушевленное существительное мужского рода, поэтому должно быть -а.

1. Словари по-разному определяют грамматические характеристики этой аббревиатуры. В «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010) указано, что аббревиатура ОАЭ среднего рода, а в «Словаре трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера (М., 2016) – множественного числа. В данной ситуации лучше построить предложение так, чтобы избежать необходимости согласовывать с аббревиатурой ОАЭ другие слова.

2. Слово Эмираты имеет формы только мн. числа.

Учительница неправа. Правильно: на день рождения. Вообще говоря, этому сочетанию не везет, его всячески искажают: пишут с буквой е на конце, пишут слитно, употребляют как слово среднего рода (*деньрождение, с деньрождением, мое деньрождение). Всё это грубейшие ошибки. На самом деле это обычное словосочетание, такое же, как, например, День города. Главное слово – день, зависимое – рождения (день чего? рождения, родительный падеж). Правильно: день рождения, на день рождения, с днем рождения, мой день рождения.