О фломастере правильно: маркер.
Это слово есть в "Словаре русского арго" на нашем портале.
Орфоэпический словарь. См. также в разделе Какие бывают словари.
Склоняются. Подробно см. в Письмовнике.
Согласно словарям и справочникам правильно: Таллин, Киргизия, Алма-Ата.
Корректно: на Украине, на Украину, операторы Беларуси.
Считаем некорректными. Возможные варианты: начать производство новой продукции, приступить к производству новой продукции.
В словарях современного русского литературного языка такое слово не зафиксировано. Судя по источникам в Интернете, это диалектное слово, означающее 'выдвижной ящик' (в тумбочке, секретере). В белорусском языке есть слово шуфляда 'ящик', очевидно, шуфлядка – производное от него. Однако, повторяем, в русском литературном языке такого слова нет.
Некорректно.
См. в Словаре трудностей.
