Желательно использовать кавычки.
Пишутся с прописной буквы сочетания типа Северный фронт, когда они указывают на крупные оперативно-стратегические объединения войск вооруженных сил государства в условиях континентальных военных действий или на места, районы военных действий и расположение действующих войск во время войны. Например: Столь же поспешно эвакуировался штаб Северного фронта. [М. А. Шолохов. Тихий Дон. Книга третья; В образовавшийся на Северном фронте стоверстный прорыв хлынули части 8-й Красной Армии. [М. А. Шолохов. Тихий Дон. Книга третья]. По-видимому, обозначение территории не воспринимается как название, когда речь идет о непродолжительных военных операциях, поэтому корректно написание со строчной в таком контексте: Петр и на этот раз утешал себя и свое правительство надеждой, что неудача на юге укрепит другую сторону, северный фронт, несравненно более важный [В. О. Ключевский. Русская история. Полный курс лекций. Лекции 54-65].
Предлагаем такой вариант: Несмотря на не лучшую погоду (ветер и дождь), мы решили остаться.
В современном русском языке принято написание со строчной буквы.
Пожалуйста, воспользуйтесь "Проверкой слова": об этом значении подробно написано в "Большом толковом словаре".
О причинах дефисного написания прилагательного геолого-разведочный подробно написано в ответе на вопрос № 275439.
Правильно: власти предержащие. Подробно об этом сочетании рассказывается в статье Ю. Л. Воротникова.
Нужна запятая перед и наоборот. Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
Пунктуация зависит от того, как построено предложение. Подробно см. в "Справочнике по пунктуации".
Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. См. подробно в «Письмовнике».
