Вот что пишет о происхождении этого названия известный ученый-топонимист Евгений Михайлович Поспелов (словарь «Географические названия России»): «Наличие в названии притяжательного суффикса -ин позволяет считать, что в его основе находится прозвищное личное имя Пушка, которое имело довольно широкое распространение: в своде древнерусских имен С. Б. Веселовского (1974), составленном по источникам XV-XVII вв., упомянуто около 30 Пушкиных. В их числе и Григорий Александрович Пушка Морхинин (середина XVI в.), от которого пошел тот род Пушкиных, к которому принадлежал и поэт А. С. Пушкин. По предположению акад. С. Б. Веселовского, этот Григорий Пушка мог владеть селом, получившим по его имени название Пушкино. Документальных доказательств связи ойконима с Григорием Пушкой нет, но его образование от Пушка или Пушкин сомнению не подлежит: именование селений по владельцам было обычным для вотчинного и поместного землевладения. Но среди краеведов распространено мнение, что название села образовано от названия р. Уча, на которой оно расположено. Образование предполагается по схеме: По Уче > По Уше > По Ушке > Поушкино > Пушкино. Понятно, что ни предполагаемая исходная форма По Уче, ни одна из промежуточных форм никакими источниками не зафиксированы, и совершенно очевидно, что эта фантастическая этимология представляет собой невежественный, искусственный домысел».

Этот вопрос связан с употреблением возвратных глаголов разного типа. Речь идет о возвратных глаголах, у которых постфикс -ся не формирует страдательного значения, ср: Дом строится (страдательный залог); Я умываюсь (действительный залог). Возвратные глаголы, не связанные с образованием форм залога, могут относится к различным словообразовательным типам. Глаголы типа целоваться относятся к взаимно-возвратным (целоваться, обниматься и т. п.), функция постфикса -ся состоит у них в привнесении значения взаимности, отсутствующего у исходных переходных глаголов несовершенного вида (целовать, обнимать и т. п.). Эти глаголы используются в личных предложениях, поэтому использовать безличную конструкцию типа *нам целовалось нельзя.

Глаголы типа гуляться относятся к безлично-возвратным. Они образуются от непереходных глаголов несовершенного вида, используются преимущественно в отрицательных предложениях и в этом случае – помимо понижения степени зависимости предикативного признака от воли субъекта – выражают наличие каких-то препятствий к реализации желаемого или необходимого: ‘хочу, но не могу’, ‘не хочу, но должен’: Мне не работалось. Сегодня плохо работается. Пошли гулять, но как-то не гулялось. Безлично-возвратные глаголы употребляются в безличных предложениях, при них часто (но не обязательно) есть дополнение в дательном падеже, обозначающее субъекта действия. Этот словообразовательный тип является достаточно продуктивным (не спится, не пишется, не читается и т. д.).

Выделение корня в слове подвергнуть зависит от научного подхода к свободным и связанным корням.

Свободными называются корни, которые могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов. Свободные корни совпадают с непроизводной основой слова. Например, свободными являются корни окн-, бег-, прав-; они встречаются как в сопровождении аффиксов в составе производных основ (подоконник, побег, направо), так и сами по себе в составе непроизводной основы (окно, бег, правый).

Корни, которые не могут употребляться без сопровождения словообразовательных аффиксов, называются связанными. Например, связанными являются корни ул-, изол-, слад-; они встречаются только в сочетании со словообразовательными аффиксами (уличный, улица, переулок; изоляция, изолировать, изоляционный; сладость, сладкий, услада).

В слове подвергнуть корень является связанным. А. Н. Тихонов считает слова со связанными корнями непроизводными, так как они, в отличие от свободных корней, не имеют производящих, несмотря на наличие словообразовательных аффиксов. Соответственно, по А. Н. Тихонову, слово подвергнуть является непроизводным и имеет корень подверг-.

Возможность вычленения связанных корней была обоснована Е. А. Земской, по мнению которой связанный корень выделяется в тех случаях, когда слово с таким корнем входит в двойные ряды соотношений: в ряд слов с тем же корнем и в ряд слов с тем же аффиксом. Если пользоваться этим критерием, в слове подвергнуть вычленяется корень верг-.

Цитируем "Русскую грамматику":

Слова, мотивированные относительными отсубстантивными прилагательными (суффиксальными и суффиксально-сложными), обозначают наличие того, что названо в мотивирующей основе прилагательного: инвалидность, плановость, облачность, комплектность; ансамблевость (об исполнении музыкального или драматического произведения, спец.). Существительные, мотивированные отглагольными прилагательными, обозначают склонность или способность к действию, названному в мотивирующей основе прилагательного: всхожесть, текучесть, мылкость, утомляемость, раздражительность.

   Многие слова этого типа имеют также более общее значение "признак, проявляющийся в различной степени и поддающийся измерению": скорость, влажность, жирность, рентабельность, газоносность, засоренность, результативность, сорность; задымленность, водность (о реках, спец.), обрывность (о нити, спец.), полносборность (спец.), этажность (спец.). Подобные образования могут мотивироваться также связанными опорными компонентами сложных прилагательных: -валентный (двухвалентный, трехвалентный) - валентность, -рядный (однорядный, двухрядный, широкорядный) - рядность (нов. спец.). Существительные этой группы характерны преимущественно для научно-технической терминологии.

   У некоторых слов присутствует вторичное значение "носитель признака", конкретизирующееся применительно к человеку (индивидуальность, знаменитость, бездарность), месту, вместилищу, пространству (плоскость, полость, емкость, выпуклость), поступку (низость, пошлость, крайность, гадость), веществу, продукту (жидкость, копченость), вообще вещи, явлению (редкость, новость), собирательному понятию (юность (молодые люди), наличность (то, что имеется в наличии)).

   Тип продуктивен в различных сферах. Примеры из художественной речи: Эту скромную спокойность, Хитрый смех и хитрый взор (Пушк.); ангельскость его красоты (Цвет.); вся любящесть ее натуры (Цвет.); в грядущести нечеткой (Ахмад.); В своей маленькости и хрупкости (Евтуш.).

На этот вопрос в справочной литературе можно найти противоположные ответы. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что названия рек согласуются с родовым наименованием, и приведен пример между реками Обью и Енисеем. В то же время другие пособия указывают, что с географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: у реки Волги, но на реке Енисей.

На практике встречается как склонение, так и несклонение названий рек в подобных конструкциях, ср.: 

• Пространство между реками Доном и Непрядвой называлось Куликовым полем. С. Голицын. Сказания о земле Московской (1968-1988)
• Трудно было пробираться речными путями на Пясину, поэтому решили установить морскую связь между реками Енисей и Пясина. М. Белов. Мангазея (1969) 
• Пять тысяч лет назад такими «умными соседями» оказались жители двух речных долин — на Ниле (Египет) и между реками Тигр и Евфрат (Месопотамия). А. Алексеев. Из жизни древнего Египта // «Наука и жизнь», 2007

• Между реками Енисеем и Хатангой (в так называемом Енисей-Хатангском региональном прогибе) открыты газовые залежи, и специалисты прогнозируют наличие здесь нефти. Е. Сидорова. Притяжение Арктики // «Наука в России», 2012.

Таким образом, допустимы варианты, и окончательное решение в подобной ситуации — за автором (редактором) текста. Ошибки в любом случае не будет.

Да, прилагательные от несклоняемых топонимов образуются при помощи словообразовательного суффикса -ск-, например: Бордо → бордо-ск-ий, Тарту → тарту-ск-ий, Раквере → раквере-ск-ий, Чарджоу → чарджоу-ск-ий и т. п.

Словообразовательный процесс часто сопровождается дополнительными явлениями: могут использоваться варианты суффикса -ск-, возможны переносы ударения с производящей основы, наложение (совмещение морфем), усечение производящей основы, ср.:

Урарту → урарт-ск-ий (суффикс -ск-, усечение основы);
Брно → брн-енск-ий (вариант -енск-, усечение основы, перенос ударения);
Перу → перу-анск-ий (вариант -анск-, перенос ударения);
Чу → чу-йск-ий, Хуло → хуло-йск-ий (вариант -йск-);
Улан-Удэ → улан-удэ-нск-ий (вариант -нск-);
Лахти → лахти-нск-ий, Тольятти → тольятти-нск-ий, Гоа → гоа-нск-ий, Никарагуа → никарагуа-нск-ий (в прилагательных типа лахтинский, тольяттинский и гоанский, никарагуанский можно выделять суффиксы -инск- и -анск-, считая, что в процессе словообразования происходит наложение морфем);
Конго → конго-лезск-ий (вариант -лезск-, перенос ударения) и т. п.

Соответственно, от топонима Тайху могут быть образованы варианты тайхуский, тайхский, тайхуйский, тайхунский и др. Ситуация с образованием прилагательных от других упомянутых в вопросе китайских топонимов аналогична.

Поэтому использование этой словообразовательной модели является правильным, однако ни один из возможных вариантов пока не зафиксирован в словарях, грамматиках и справочниках как нормативный.

В интернете встречаются прилагательные тайху-ск-ий, нинбо-ск-ий, уси-ск-ий, шао-ск-ий и шанли-йск-ий, что подтверждает наличие вариантов у этой словообразовательной модели. Нормативный вариант удастся установить, если эти прилагательные будут активно использоваться в речи.

Не может похвастать ― общеупотребительное, стилистически нейтральное выражение. Оно широко употребляется в письменной речи, особенно в публицистике. Пожалуй, его не следует использовать в научных и официально-деловых текстах, но в большинстве других случаев это выражение уместно.

Все верно, это смысловая запятая (нужно решить, какие именно слова входят в состав оборота). 

В справочниках можно найти лишь информацию о постановке знаков препинания при союзе в том числе в случаях, когда союз имеет значение ‘включая что-либо, кого-либоʼ и начинает присоединительный оборот, то есть когда в предложении названо то целое, частью которого является присоединяемое с помощью в том числе. Случаи, когда союз лишь показывает, что помимо того, о чем говорится в предложении, подразумевается что-то еще (то есть ‘не только, но и’), в справочниках не рассмотрены. Об этом пишет М. М. Харченко в статье, посвящённой нерешённым проблемам современной пунктуации. В статье приводятся примеры из текстов публицистического и официально-делового стилей, аналогичные приведённым Вами. Судя по ним, в практике письма встречаются разные варианты постановки знаков препинания при таком «самостоятельном» в том числе.

Очевидно, здесь играет роль не само по себе наличие в том числе, а какие-то другие факторы. Так, в первом из примеров логическое ударение несёт на себе сочетание снижает эффективность работы указанных сотрудников, а то, что начинается с в том числе, служит добавочным замечанием, то есть представляет собой присоединительный оборот: ...текущий размер мониторов снижает эффективность работы указанных сотрудников, в том числе при выполнении ими ключевых задач предприятия. Во втором же примере логическое ударение приходится на часть, которая начинается с в том числе (и), что не предполагает обособления оборота: ...уничтожение молодых зеленых насаждений происходит в том числе и по причине чрезмерной охоты на хищников.

Отметим, что употребление оборота с «самостоятельным» в том числе во многих случаях выглядит стилистически неудачным – см., например, ответ на вопрос 308092.