Грузинские фамилии, оканчивающиеся на -ия, склоняются по образцу имени Мария. Правильно в дательном падеже: Давиду Габескирии (ср.: Марии, России).

Да, по законам русской грамматики фамилия Сичинава должна склоняться (и мужская, и женская). Ср.: песни Окуджавы.

Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).

Компонент имени Юшидж склоняется по правилу об обязательном склонении мужских имен и фамилий, оканчивающихся  на согласный. С компонентом Нима сложнее. Справочники рекомендуют склонять восточные имена и фамилии, оканчивающиеся на -а с предшествующим согласным. Корректно было бы: Нимы́ Юшиджа, Ниме́ Юшиджу и т. д. Склонение обоих слов предпочтительно еще и потому, что если компонент Нима останется неизменным, то из формы родительного падежа (поэзия Нима Юшиджа) читатель, незнакомый с этим именем, решит, что имеется в виду поэт, которого зовут Ним Юшидж. Однако на практике, в том числе в научных работах, посвященных творчеству поэта, используется вариант поэзия Нима Юшиджа, т. е. склоняется только вторая часть имени.

Это примеры неполных предложений (в данном случае пропущена грамматическая основа мы вручим). Такие предложения обычно читаются с паузой на месте пропуска, на письме она обозначается знаком тире. В редких случаях пауза при чтении не возникает, и тогда тире не нужно: Егорушка долго оглядывал его, а он Егорушку (Ч.); Из нашей батареи только Солёный пойдёт на барже, мы же со строевой частью (Ч.) и т. д. Полагаем, в Вашем случае неполные предложения прочитать без паузы затруднительно, а потому тире требуется: Мы не устаём вручать вам подарки. Ещё два — уже в понедельник. Второй — главному везунчику.

1. В контексте слово так является не частицей, а наречием. Постановка запятой после него зависит от смысла. Если так относится к деепричастию (=«таким образом переговариваясь»), запятая не ставится. Если деепричастие переговариваясь уточняет слово так (отвечает на вопрос как именно?), запятая ставится.

2. Запятая после распространенного определения стоящего в дверях перед одиночным определением улыбающегося не нужна.

Ответим по порядку: 1. Корректно с тире перед поясняющей конструкцией: Я изучаю языки — английский и французский. 2. Если Ночь — это действительно имя, кавычки не требуются: Кодовое имя: Ночь. 

Корректны два варианта: 

• Она сидела и думала, с чем ей понравилось больше и могла ли она вообще выбрать.
• Она сидела и думала: с чем ей понравилось больше и могла ли она вообще выбрать?

Корректно: Документ о присвоении должности судьям и об освобождении от нее;  об одном и том же.

У слова водоросль два корня (вод- и рос-), соединительная гласная -о-, суффикс -ль и нулевое окончание. Суффикс -ль — нерегулярная словообразовательная единица, выделяющаяся в именах существительных женского рода, которые обозначают предмет или явление, характеризующиеся действием, названным мотивирующим глаголом: быль, поросль, прибыль.