Нет, некорректно: лекции читают, а уроки проводят.
Возможно написание с прописной (в офиц. документах) и со строчной буквы (в остальных случаях).
Нет, некорректно.
Правильно: в количестве 31 коробки и 15 папок.
Правильно: погодков.
Написание слова порядок с прописной (большой) буквы теоретически возможно в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл. Но на практике с подобным написанием сталкиваться не приходилось.
См. в «Письмовнике».
У слова второй отмечено значение «такой, статус которого на одну ступень ниже по сравнению с основным, первым», среди иллюстративных примеров приводится предложение В институте Иван Иванович – второе после директора лицо (см. значение 1.2 у слова второй3 в «Большом универсальном словаре русского языка»). Судя по этим данным, выражение второй после N будет понято как синонимичное сочетанию первый после N. Обособление сочетания после N в этом случае не влияет на смысл высказывания.