В предложении ошибка. Правильно: запускай бумажного змея. Змей – одушевленное существительное (в т. ч. об игрушке). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. – 5-е изд., испр. – М., 2008.
Верно: МезЕнь, мезЕнская.
Правильно: катание в карете.
Все вопросы об олимпиаде присылайте по адресу: portal@gramota.ru.
Корректно: вовлечённость в ведение подсобного хозяйства.
Оба варианта допустимы. Выбор одного из них предопределяется смысловыми задачами автора и конкретными нюансами высказывания. При этом безусловно частотен вариант с предлогом для; ср.: релевантный для целей исследования; признак «глухость — звонкость» релевантен для русского языка; противопоставления, релевантные для поисковых систем.
Запятые не нужны: Человек в форме полицейского зашел в здание.
Правильно.
