Лучше перестроить цитату так, чтобы она представляла собой синтаксически самостоятельную конструкцию. Например:
Он сказал, что это неправильно: "Следует...".
Правилен первый вариант, где употребляется отрицательная частица не. Она выражает полное отрицание того, что обозначает слово или сочетание, перед которым она стоит.
Частица ни усиливает или абсолютизирует отрицание. Она становится союзом, соединяя однородные члены, относящиеся к слову с отрицанием не или слову нет, которое может быть опущено, например: Он не боится ни воды, ни ветра. Ему нельзя ни пить, ни курить. Ах, я не верю ничему: ни снам, ни сладким увереньям, ни даже сердцу твоему (Пушкин). Ни до, ни после такого не видывал (никогда). Этого не знает ни стар, ни млад (никто). Нет ни сил, ни желаний. И нет ни декора вокруг дома, ни новых клумб, ни фигурок лебедей. На небе ни месяца, ни звезд. Ни уму, ни сердцу.
Тире уместно.
Правильно: достигать чего-либо. Сотрудники достигают новых профессиональных высот.
Корректно: ждем новых открытий.
Пунктуация верна.
Указанная запятая нужна.
Дополнительные знаки препинания не нужны.
