Чтобы научиться различать второстепенные члены, нужно научиться находить слово, от которого зависит данный второстепенный член, и ставить от этого слова смысловой вопрос к второстепенному члену. Полезно предварительно твердо выучить, на какие вопросы могут отвечать определения, дополнения и обстоятельства.

В приведенном примере сквозь камень зависит от сказуемого: сочилась (как?) сквозь камень. На вопрос как? может отвечать только обстоятельство.

Предлог всегда входит в состав члена предложения, потому что предлог всегда образует с именем существительным (или местоимением) единую предложно-падежную форму.

Настоять на несклонении фамилии в принципе можно. Однако грамматическим нормам нашего языка соответствует склоняемый вариант всех мужских фамилий, оканчивающихся на согласный звук. 

«Правила русской орфографии и пунктуации» готовились в конце 40-х - первой половине 50-х годов. В работе над ними принимали активное участие С. И. Ожегов, А. Б. Шапиро, С. Е. Крючков. В 1955 г. был опубликован проект «Правил» (под грифом Института языкознания АН СССР и Министерства просвещения РСФСР). Этот проект был официально утвержден Академией наук, Министерством высшего образования СССР и Министерством просвещения РСФСР в 1956 г. и тогда же опубликован (одновременно с академическим «Орфографическим словарем русского языка» на 100 тыс. слов под ред. С. И. Ожегова и А. Б. Шапиро).

Верно: кла́ла. Подробнее здесь.

Толковые словари русского языка — адрес ссылок и источник аргументов в обсуждении значений слов и их сочетаемости. Случай с прилагательным нелицеприятный убеждает в том, что во внимание следует принимать и происхождение слова. Ближайшие родственники этого прилагательного по словообразовательной линии — прилагательное лицеприятный и существительное лицеприятие. Увы, предшественники со временем вышли из употребления и сейчас не так известны, как обсуждаемое слово. Но осталась возможность установить общие смысловые особенности родственных слов и сделать вывод о том, что все они так или иначе близки идее «принимать». Получается, что нелицеприятный — это такой, какой не принимает во внимание лицо. Это толкование использовал Павел Анатольевич Клубков в книге «Говорите, пожалуйста, правильно» (СПб., 2000). На наш взгляд, формула «не принимающий во внимание лицо» ясно и точно определяет смысловые особенности обсуждаемого прилагательного. Именно эти особенности необходимо иметь в виду при употреблении слова в сочетании с существительными.

В Ваших примерах верно: поживиться, нажиться. Глагол "наживиться" в этом значении не употребляется.

НАЖИ́ВА, -ы, ж. Разг.

1. Действие по глаг. нажить—наживать (в 1 знач.). Им [богатым крестьянам] хлеб не только для прокормления служит, а больше всего — для продажи, для наживы денег. Ленин, К деревенской бедноте.

2. Приобретательство, нетрудовое обогащение. — Вся жизнь у него в деньгах и в наживе. Чехов, Степь. При капиталистическом строе торговля имеет целью наживу, обогащение, увеличение торгового капитала. Дзержинский, Проблемы советской торговли.

НАЖИ́ВА, -ы, ж. То же, что наживка. Самый удачный лов бывает на ранней заре, когда голодна рыба, когда она жадно бросается на наживу, но не видит предательских крючков и лес. Сергеев-Ценский, Флот и крепость.

ПОЖИ́ВА, -ы, ж. Разг. То, чем можно поживиться, добыча, нажива. Еще подъезжая к деревне Плюшкина, он уже предчувствовал, что будет кое-какая пожива, но такой прибыточной никак не ожидал. Гоголь, Мертвые души. Вытянув шеи, грифы глядели в нашу сторону, ждали поживы. Песков, Шаги по росе.

Интегрировать — объединить/объединять части, стороны чего-л. в одно целое. Интеграция — объединение в одно целое каких-л. частей. 

Возможны оба варианта предложного управления. 

Например: России необходима решительная деспециализация военной промышленности и ее интеграция с гражданской экономикой [Виталий Шлыков. Черный хлеб военного бизнеса // «Отечественные записки», 2003]; ...происходило оседание кочевников на землях Руси и их интеграция в славяно-русский этнос [П. П. Толочко. Кочевые народы степей и Киевская Русь (1999)]. 

Слово поддержка может управлять существительным в форме родительного падежа, обозначающим адресата оказываемой помощи. Поэтому возможны оба варианта.