Литературной норме современного русского языка соответствует употребление предлогов в – из: в телецентр, из телецентра.
Это предлог.
Слова, одинаковые по звучанию, но разные по значению – омонимы. Правда, бой в значении "состязание, поединок, схватка" и бой в значении "звуки, производимые дробными ударами чего-либо" нельзя назвать омонимами – это просто разные значения многозначного слова. Подробнее о многозначных словах и омонимах см. в пособии Е. Литневской.
Запятая после слова меха не нужна.
Правильно: до скольких Вы работаете? Все остальные варианты (до скольки, до сколька, до сколька часов и т. п.) неверны.
Следует писать все сочетание строчными буквами.
Со строчной.
Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Предпочтительно: Барин со всеми его имениями себе не принадлежит.