Здесь имеется в виду планета Земля, следует писать с большой буквы: притяжение Земли.

Согласно общим правилам корректно с прописной. Вероятно, Вы имели в виду Болонское соглашение.

Литературная норма современного русского языка: Эдем (библ.) и эдем (благодатный уголок земли); эдемский.

Верно: стереть с лица (например, краску). Устойчивый оборот речи: стереть с лица земли (уничтожить).

Называть комнату в квартире словом зал не вполне корректно.

К сожалению, на телефонные звонки мы не отвечаем. Вы можете позвонить в Справочную службу Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН: +7 (495) 695-26-48. Служба работает с понедельника по четверг с 12:00 до 16:00.

В предложении Я вышла из дома, светило солнце, и сновали птицы запятая перед союзом и нужна, так как он соединяет части сложносочиненного предложения. Заметим при этом, что более уместным решением было бы оформление высказывания в двух предложениях: Я вышла из дома. Светило солнце, и сновали птицы (в первой части глагол-сказуемое совершенного вида, в двух других — несовершенного, что указывает на более тесную связь этих двух последних друг с другом, нежели на их связь с первой частью). В предложении На улице светило солнце, шумел ветер и гуляли люди запятая перед союзом и не требуется, так как у всех частей есть общий элемент — обстоятельство на улице (и все глаголы-сказуемые несовершенного вида).

В последнем из приведенных предложений запятая перед союзом и нужна, потому что он соединяет части сложносочиненного предложения. Эти части не объединены каким-то общим элементом (обстоятельством, частицей и т. п.). Они неполные и имеют параллельную структуру, отчего в них и используется тире, сравним: Численность первого вида [составляет] 4 экз., [численность] второго [составляет] 3 экз., и [численность] третьего [составляет] 2 экз.

Сочетание «редкие земли» уместно писать в кавычках, чтобы обратить внимание читателя на необычное употребление слова.