Решение зависит от того, входят ли слова "в соответствии с обращением" в состав деепричастного оборота. 

Кавычки не нужны.

Форма мужского рода (управляющий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода. 

Астанский – устаревшая рекомендация. Название Астана относительно новое, и прилагательные от него образовывались разными способами. Эти колебания нашли отражение в словарях. Согласно словарю Е. А. Левашова «Географические названия» (СПб., 2000) от слова Астана образуются прилагательные астанинский и астанийский. Современный академический орфографический словарь фиксирует только вариант астанинский, который, по-видимому, получил более широкое распространение. Прилагательное астанайский закрепилось в церковной сфере. Официальные названия – Астанайская епархия и митрополит Астанайский.

Правило, на которое Вы ссылаетесь, – орфографическое. Оно регулирует только выбор гласной буквы в прилагательных на -нский, образованных от имен собственных.

Образование слова викторный не противоречит законам русского литературного языка. Ср.: аудитория – аудиторный,  амбулатория – амбулаторный, обсерватория – обсерваторный. Словообразовательный формант – суффикс прилагательного н. При образовании прилагательных от существительных на -ия в данных словах происходит усечение конечных звуков основы [иj]. Ударение падает на гласный [о].

Фраза корректна.

Верно: ...подросток вернулся домой.

Р. п. – Сая, Д. п. – Саю, В. п. – Сая, Т. п. – Саем, П. п. – о Сае.

Корректно: транс-изомеры (см. словарную фиксацию), трансжиры, трансконфигурация (эти два слова не зафиксированы в академическом орфографическом словаре, но согласно словарной рекомендации о написании приставки транс- их следует писать слитно).

Правильно только поезжай.