Между однородными определениями, не связанными союзами, ставится запятая. Определения являются однородными, если за одиночным определением следует определение, выраженное причастным оборотом: малоизвестные, расположенные на отшибе курганы; древняя, почерневшая от времени деревянная статуэтка; твёрдый, плохо выбритый подбородок (ср. при другом порядке слов: плохо выбритый твёрдый подбородок). Именно такой порядок определений наблюдается в приведенном Вами предложении: певучие, раскалённые князем-басурманом струны. 

Также должна быть поставлена запятая перед союзом и между двумя частями сложносочиненного предожения.

Полагаем, эти несколько предложений лучше оформить в отдельный абзац:

— Благодарю вас, — проговорила она своим мягким голосом.
*Еще что-то про ее описание, например, 2–3 предложения или даже больше*.
Затем она подняла глаза и добавила:
— Меня зовут Анна.

Обратите внимание, что при передаче устной речи персонажей местоимение вы, даже обращенное к одному лицу, принято писать со строчной буквы.

В этом случае этикетные фразы являются скорее подлинными выражениями, играющими роль дополнений при глаголе говорить, а потому двоеточие перед этими фразами излишне: Ну неужели трудно сказать «доброе утро», «приятного аппетита»? Эти фразы можно рассматривать и как прямую речь внутри слов автора (см. параграф 136 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), но в этом случае следует написать их с прописной буквы: Ну неужели трудно сказать: «Доброе утро», «Приятного аппетита»?

Нет, греческие слова πόλις ‘город’, ‘государство’ и πολύς ‘многие’ этимологически никак не связаны. Они и писались по-разному: πόλις через йоту, а πολύς через ипсилон. Слово πόλις восходит к индоевропейскому корню со значением ‘огороженное пространство’, а πολύς — к индоевропейскому корню со значением ‘заполнять’.

Выполнить это задание Вам поможет учебник Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников», см. раздел «Неопределенная форма глагола (инфинитив)».

Постановка запятой означает, что "ну" употреблятся как междометие и отделяется от последующих слов интонационной паузой.

Правильно: в изучении, в покорении. Однако в поэтической речи возможна замена: в изученье, в покоренье. Так что ошибки нет. Отметим также, что правилами допускается и поэтический вариант в изученьи, в покореньи.

Существительные с неодносложной основой муж. и сред, рода на -ий и -ие в предл. п. и жен. рода на -ия в дат. и предл. п. ед. ч. имеют в безударном положении, в отступление от обще- го правила, окончание -и, а не -е, напр.: гений — о гении, натрий — о натрии, радий — о радии, Василий — о Василии, Юрий — о Юрии, отделение — в отделении, возвращение — по возвращении, содействие — при содействии; армия — к армии, об армии; линия — по линии, на линии; станция — к станции, на станции; Болгария — по Болгарии, в Болгарии; Мария — к Марии, о Марии. При наличии вариантов на -ие и -ье, -ия и -ья указанные падежные формы имеют разные окончания -и и -е: ср., напр., вариантные пары типа об умении — об уменье, в цветении — в цветенье, о многословии — о многословье, о Наталии — о Наталье, к Марии — к Марье. 

Примечание. В художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предл. п. существительных сред, рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, напр.: В молчаньи шел один ты с мыслию великой(П.); Подвиг есть и в сраженьи, / Подвиг есть и в борьбе. / Высший подвиг — в терпеньи, / В любви и мольбе (Хом.); И снег соперничал в усердьи/ С сумерничающею смертью (Б. Паст.); «В очарованьи» (название стихотворения И. Северянина); Птицы кричат в поднебесьи, / Сердце стучит в подреберьи (В. Долина). Под ударением окончание предл. п. -и отмечается только у одного слова на -ье: забытьё — в забытьи́.

В переносном значении 'выражающий чувственность, вожделение (о глазах, взгляде)' используется прилагательное масленый: масленый взгляд.