Да, склоняются: на р. Оке.
Названия полярных станций заключаются в кавычки: на станции "Новолазаревская".
Правильно: надеть на него шляпу.
Одеть и надеть — это паронимы, то есть есть слова, похожие по звучанию, но различающиеся по смыслу. Именно из-за похожести некоторые путаются в их употреблении.
Надеть можно что-то на кого-то или на что-то — например, надеть платье на куклу или перчатку на руку. Одеть можно только кого-то — например, одеть ребенка. Иногда глагол употребляют в переносном значении — например, зима одела поля снегом.
Фамилия Цомая склоняется. Грузинские фамилии на -ия склоняемы. См. подробнее "Особенности склонения фамилий и личных имен".
Запятая не нужна: По состоянию на 1 сентября 2015 года на учете состоит...
Указанная запятая нужна.
Запятые нужны, это вводное сочетание.
