Определение входит в обстоятельственную группу в бесконечном космосе, но внутри этой группы оно является именно определением. При желании графический разбор можно усложнить: подчеркнуть всю обстоятельственную группу как обстоятельство, а определение — вдобавок еще и как определение.

Ломать голову над тем, определением или дополнением является распространитель, который способен ответить на разные вопросы, непродуктивно. Лучше договориться, что бывают синкретичные распространители, совмещающие функции определения и дополнения. Пирог с капустой — это как раз такой пример. Как существительное, пирог автоматически разрешает смысловой вопрос какой?. Но мы хорошо знаем, что пироги обычно пекут с начинкой, поэтому вопрос с чем? абсолютно легитимен. (Не случайно, когда на улицах торговали с лотков пирожками, продавщицы без конца отвечали на один и тот же вопрос: С чем у вас пирожки? — и никому не приходило в голову спросить Какие у вас пирожки?.) Суть дела здесь состоит в том, что в таких случаях дополнение подается в оболочке определения. Ведь на вопрос какой? можно ответить десятком других способов (слоеный, румяный, аппетитный, горячий, мясной). Здесь же выбирается вопрос с уточнением: какой, с чем?. Поэтому и характеризовать распространитель лучше как совмещающий признаки несогласованного определения и косвенного дополнения, но если выбирать однозначное решение, то — как косвенное дополнение.

Что же касается второго примера, то здесь ситуация несколько иная. При обычном употреблении глагол танцевать не предполагает распространителя, отвечающего на вопрос с чем?. Можно танцевать как, с кем, где — это обычные распространители к этому глаголу. Поэтому при обычном употреблении предпочтительно видеть в существительном с предлогом обстоятельство.

Однако в употреблении специальном — например, в сфере художественной гимнастики, циркового искусства и т. п. — танец с чем (с лентой, с саблями, с булавами) представляет собой обычное для речи этой сферы управление, и поэтому в этой сфере вполне законным будет вопрос типа С чем она сегодня танцует?. Если предложение с этим словосочетанием взято из речи в такой сфере, то целесообразно видеть в распространителе косвенное дополнение.

Общее правило очень простое: к зависимому компоненту надо ставить смысловой, а не формальный вопрос. То есть это должен быть вопрос не к форме зависимого слова, а от смысла главного слова. Если смысловой вопрос совпал с вопросом к форме зависимого слова (то есть с падежным или предложно-падежным вопросом) — значит, перед нами дополнение.

Подопечный используется в роли существительного (о лице, находящемся под опекой). При этом слово опекаемый может использоваться как причастие: опекать имущество - опекаемое имущество (не подопечное).

Такое употребление прописной буквы правильно.

Вы правы. Это слово употребляют говорящие по-русски, оно действительно есть в словарях русского языка, оно стало фактом русского языка. Можно сформулировать так: прет-а-порте  — это заимствованное из французского языка слово, входящее в состав современного русского литературного языка.

Вы правы, сочетание в конце концов здесь является обстоятельством времени (отвечает на вопрос когда?), а не вводным словом.

В толковом словаре С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой слово дожиться фиксируется как разговорное: 

В этом случае слово правда выступает в роли наречия, синонимичного наречию действительно, и не обособляется.

Корректны оба варианта: инструмент и инструменты. 

Форма единственного числа существительных нередко используется в значении множественного: например, в случаях, когда существительное имеет обобщающее значение. 

Устойчивое выражение поставить на место не нужно видоизменять, верно: поставлю учителей на место.