Если отрицания нет, нужен винительный падеж: признал заслуги. Здесь проблемы нет, трудности возникают, когда есть отрицание, потому что существительное, относящееся к глаголу с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа. В одних случаях тот или иной падеж является предпочтительным, а в других существует равная возможность употребления как родительного, так и винительного падежа. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».

В первых двух предложениях вместо тире и запятой следует поставить двоеточие: Я не сомневалась, что мне приснятся пораженные чумой города: когда я чем-то долго занималась, сны становились продолжением дневных занятий. Хорошо, что я защищен: не очень приятно ловить такие подарочки.

В третьем предложении запятая нужна: Нельзя утверждать, что уроки оказались бесполезными, – из них я вынес первые знания об анатомии.

Прилагательное многовидовой в нормативных орфоэпических словарях не представлено, однако в них есть слово видово́й, ударение в котором падает на последний слог, в том числе и в случае, когда прилагательное образовано от существительного вид в значении  'разновидность, тип'. В слове мно̀говидово́й основное ударение падает на последний слог, а побочное — на первый. 

Запятая перед соединительными и разделительными союзами в сложносочиненном предложении не ставится, если в его состав входят вопросительные предложения: Это кто такие и что им надобно? (П.) — объединяет вопросительная интонация; Который теперь час и сколько времени осталось до отхода поезда?; Когда состоится конференция и какова повестка дня?; Вы придёте ко мне или мне прийти к вам?

Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка лосось — одушевленное существительное (во всех значениях). На практике наблюдаются некоторые колебания в тех случаях, когда лосось называет не живую рыбу, а пищу (т. е. в торговых, кулинарных и т. п. контекстах). Но всё же и в этом случае предпочтительно использовать это слово как одушевленное: купить лосося.

Действительно, если сочетание как сможем имеет значение образа действия, можно провести аналогию с Поможем чем сможем и не поставить запятую перед союзным словом как. Вместе с тем слово как многозначное и может выступать в разных функциях. Так, в приведенном Вами предложении оно может быть союзом времени (= «Поможем, когда сможем»), а в этом случае запятая перед ним нужна.  

Законы русской грамматики требуют склонять мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (а буква й обозначает согласный звук j). Фамилия Горай склоняется по образцу других слов второго (по школьной грамматике) склонения, ср: лай, май, каравай, Дубай и др. Сказать, например, думал о Горай вместо думал о Горае то же самое, что родился в май вместо родился в мае.

Слова на кибер… в «Русском орфографическом словаре» и других современных словарях даны в слитном написании. Разница в рекомендациях с «Современным словарем иностранных слов» объясняется тем, что последний был издан в начале 1990-х годов, когда такие слова только появлялись и написания их еще не устоялись. Так что в целях унификации лучше писать такие слова слитно.