Формально это обстоятельство образа действия: топил как? - сам (самостоятельно).
Здесь сравнительный оборот имеет значение образа действия. Запятая не ставится.
Слово "семьёй" в данном предложении является обстоятельством образа действия.
Уточняющее обстоятельство образа действия обособляется: Вдруг юноша медленно, будто лениво, поднял руку.
В этом случае деепричастие употребляется в функции обстоятельства образа действия: сказал (как?) заикаясь.
Правильно: попугай Кеша (ср.: кот Васька, собака Каштанка). Слово попугай не является частью имени.
Запятые не нужны. Деепричастие здесь употребляется в значении обстоятельства образа действия (ср.: без спешки).
Не вполне корректно выражение "оплата договора". Оплачивают обычно услуги, об оказании которых составлен договор.
Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.