Ваш вопрос непростой, но очень интересный. Слово гоф?медик в словарях современного русского языка, в том числе в орфографическом, не фиксируется. При этом некоторая часть слов на гоф- отмечается, но написания у них разные, что обусловлено традицией и влиянием разных факторов, ср.: гоф-дама, гоф-девица, гоф-фактор, гоф-юнкер, гоф-юнкерский и гофинтендант, гофинтендантский, гофмаклер, гофмаклерский, гофмаршал, гофмаршальский, гофмейстер, гофмейстерина, гофмейстерский, гоффурьер, гоффурьерский. 

Слово, о котором Вы спрашиваете, не является официальным названием. Его нет, например, среди придворных чинов в книге «Императорский двор России. 1700—1796 годы» О. Г. Агеевой (Наука, 2008). В «Словаре русского языка ХVIII в.»  гофмедик упоминается в статье гоф в ряду других слов, а самостоятельной статьи не имеет. Важно, что словарь выбирает именно слитное написание, хотя дефисное в источниках словаря встречается. В предисловии специально оговаривается: «Среди вариантов слова устанавливается наиболее употребительный (сильный) вариант. Он выдвигается на первое место в ряду вариантов как представляющая слово форма-репрезентант». Это означает, что слитное написание в текстах превалировало. Слитного написания придерживается и «Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона» (т. I, вып. 2 (1907): Гальванохромия — Кившенко). Так как слово является историзмом, логично писать его в соответствии с традицией — слитно.

Благодарим за внимательное чтение словарной статьи. Судя по всему, Вами обнаружена техническая ошибка, поскольку очевидно, что замысел составителей словаря должна была отразить грамматическая помета, указывающая на краткую форму.

Как можно заметить по представленным примерам, выбор предлога зависит от используемого глагола. Нужно уточнять глагольное управление (т. е. выбор предлога) в словаре, в словарной статье, посвященной соответствующему глаголу.

Словарной фиксации нет, но логично было бы написать в одно слово (без дефиса), если в языке-источнике пишется слитно. Ср.: таймшер (от timeshare), такое написание фиксирует «Русский орфографический словарь» РАН.

Слово верх многозначное, омонимы словарями не фиксируются. В этом можно убедиться, воспользовавшись толковым словарем, например на нашем портале. Многозначное слово описывается в одной словарной статье, значения нумеруются внутри статьи. Омонимы описываются в разных статьях, в этом случае обычно нумеруются статьи (ср. со статьями для омонимов брак). 

Написание слов  антагонизм, антагонист и производных от них проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю) и обусловлено происхождением этих слов (они восходят к греческому antagonisma 'спор, борьба', antagonistes 'противник, соперник').

А — сочинительный союз с присоединительным значением, как — подчинительный союз со значением времени (см. значение 3.1 в словарной статье как² в «Большом универсальном словаре русского языка»).

Запятая нужна: Прошло уже пять дней, как уехали. Придаточное имеет значение времени, см. пункт 3.6 словарной статьи союза как (как²) в «Большом универсальном словаре русского языка».

Правильно: стекленеть. Словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова увидел свет в 1935–1940, а действующие «Правила русской орфографии и пунктуации» приняты в 1956 году. Поэтому в словаре могут встречаться написания, не соответствующие современной орфографической норме