Если ошибки связаны с выбором неправильного падежа (и, как следствие, неправильной буквы), то это грамматические ошибки. В иных случаях - орфографические.
Столица Урала, янтарная столица — это образные описательные выражения. Они не стали неофициальными названиями, не фиксируются в таком качестве словарями, в текстах устойчиво пишутся со строчной буквы.
Возможно, осмыслению сочетания столица Урала как названия препятствует структура — «столица чего» (ср. столица России, столица Белоруссии, столица Кузбасса, столица Калининградской области). Слово столица воспринимается исключительно как родовое.
Сочетания прилагательного со словом столица похожи на типичные географические названия с родовым словом (Московская область, Белое море, Приморский край, Васильевский остров), что располагает к их использованию как названий. Сочетание Северная столица давно закрепилось в таком качестве и отмечено словарями, Уральская столица употребляется реже, но вполне корректно, например в названии статьи «В Уральской столице презентовали новую книгу об императоре Николае II» [Vesti.ru, 20.07.2016].
Сочетание янтарная столица, по данным Национального корпуса русского языка, менее употребительно, чем столица Урала или уральская (Уральская) столица, и обычно вводится в текст не как название, а как характеризующий оборот, например:
Это правда, что вы хотите переселить в Россию 15 тыс. специалистов-янтарщиков из Польши и Литвы и таким образом в перспективе сделать Калининград янтарной столицей мира? [Елизавета Маетная. «Янтарный комбинат превратился в бизнес: «выкопай и продай посреднику» // Известия, 29.05.2012];
Я был в Доминиканской республике трижды, и сам искал эти камни и находил, и конечно это удовольствие подарить такой камень, так как Калининград — это янтарная столица мира, и естественно, здесь должен быть такой камень тоже [Музей янтаря получил подарок с острова Гаити // Vesti.ru, 03.03.2009].
Интересно, что сочетание Янтарный край вполне может претендовать на фиксацию в качестве неофициального названия: оно стало устойчивым обозначением Калининградской области в современных текстах.
Возможны обе формы: и единственного, и множественного числа.
В приведенных Вами выражениях слово трубка стоит в форме род. падежа ед. числа, которая может употребляться при глаголах с отрицанием (ср.: не имеет права, не производит впечатления). Причины появления этих оборотов раскрывает Е. М. Лазуткина, кандидат филологических наук, ведущий научный сотрудник отдела культуры русской речи Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Она знакома пользователям портала как автор «Словаря грамматической сочетаемости слов русского языка».
По наблюдениям Елены Михайловны, в последние 20 лет употребление родительного объектного падежа вместо винительного объектного носит характер «жаргонной моды». И это относится не только к комплексам с отрицательной частицей.
Выражение не брать трубки неправильно. Оно не находит оправданий ни в «Русской грамматике» 1980 г. (том II, стр. 415-417), ни в книге В. А. Ицковича «Очерки синтаксической нормы» (стр. 37 и след.), ни в «Словаре грамматической правильности русской речи» Л. К. Граудиной, ни в др.
Существительное трубка должно стоять в форме винительного падежа, потому что это существительное предметной семантики. Если бы существительное было отвлеченное или вещественное, тогда можно было бы говорить о вариантах в разных конструкциях. В бытийных предложениях с безличным глаголом (с обратным порядком слов) может употребляться родительный падеж: Трубки на месте не было.
Елена Михайловна приводит и другие интересные примеры.
Стало обыденным выражение Он должен мне денег вместо нормативного Он должен мне деньги. Здесь обнаруживается влияние родительного партитивного или мысленного указания на количество (сколько-то денег, много денег).
Сейчас можно услышать даже в речи людей, владеющих литературной нормой, выражения есть картошки, мяса, каши. Норма: есть картошку, мясо, кашу. Варианты имеет глагол отведать (что и чего).
Вспомните реплику Олега Даля из фильма «Не может быть!»: Прошу не оскорблять моей жены! Сейчас такое выражение ощущается как устаревшее, потому что в современном русском языке есть запрет на употребление при глаголе с отрицанием одушевленных существительных в родительном падеже.
Это вариантные окончания. Более употребительно окончание -ОЙ: тобой, душой.
Позаброшенный - такой, которым перестали заниматься, забросили, оставили без наблюдения. Вывод о целесообразности такого словоупотребления можно сделать только исходя из более обширного контекста.
