Формулировка корректна, она часто встречается в официальной речи.
Похудение - нейтральный (общеупотребительный) вариант слова; похудание - вариант, употребительный в разговорной речи.
Нет, запятая не нужна. Слова по поручению вводными не являются.
Запятая нужна, чтобы оборот по поручению начальника однозначно относился к сказуемому. Об обособлении оборотов с непервообразными предлогами см. в «Справочнике по пунктуации».
Оборот со словами по поручению не обособляется: По поручению руководителя книга «Сказки народов» издана дополнительным тиражом.
Правильно: оплата обучения, плата за обучение.
Контекст недостаточен для однозначного ответа. Сравним предположительно достроенное нами до полной структуры предложение: Власти решили определить школу органом, ответственным за обучение, родителей — пользователями услуги. Впрочем, возможно, в Вашем случае контекст иного рода и требует иной постановки знаков препинания.
Слово программам написано верно.
