Наречие всё равно не является вводным сочетанием.
Запятая в этом предложении нигде не требуется.
Запятая нужна, чтобы закрыть придаточную часть. Уместность тире вызывает сомнения (слову всё не предшествует перечислительный ряд, для которого оно являлось бы обобщающим словом): Мы сделали всё, что было в наших силах, всё перепробовали. Можно также разделить предложение на два: Мы сделали всё, что было в наших силах. Всё перепробовали.
Корректно: «Нет!.. Нет!..» — без устали стану шептать. Прописная буква употребляется после знака конца предложения, но не после запятой.
Да, это прямая речь. Верная пунктуация: Владимир, говоря: «Мы всё ещё дети», имел в виду...
Корректно: Мы хотим, чтобы все были здоровы.
Поскольку это официальное название организации, первое слово следует писать с большой буквы.
