Словарные данные о глаголе поместиться подтверждают Вашу правоту. Впрочем, в Национальном корпусе русского языка находим много примеров сочетания «помещаться куда-л.», причем этот вариант нельзя назвать новым, ещё в XIX веке писали: Особенно долго возился он с письменным столом, который никак не хотел поместиться в назначенный для него простенок... [И. С. Тургенев. Накануне (1859)]; Обыкновенно пустующий в это время года дорогой курьерский поезд наполнился пассажирами (...). Но далеко не все поместились в вагоны. [Вл. А. Гиляровский. Солнечное затмение под Москвой (1887)].
Правильно.
Вы правы, организация проведения дня - неудачный вариант. Корректнее: Об организации и проведении мероприятий, посвященных Дню охраны труда.
Верно раздельное написание.
Правильно: телефон отключён.
Ударение на окончании, правильно: уместятся.
Ударение переходит на окончание: гвоздём программы.
Оба слова имеют право на существование.
Если это предложение целиком, то запятая не требуется. Если это часть предложения, то пунктуация зависит от контекста.
Точка ставится после закрывающих кавычек.
