Словообразовательную связь Вы установили верно: наречие помногу образуется от наречия много. При образовании слова конечная гласная производящей основы о усекается, к основе присоединяется приставка по- и суффикс -у. Другие слова, образованные по той же модели: подолгу (от нар. долго), помалу (мало), понемногу (немного), понемножку (немножко), поровну (ровно).
Словарной фиксации нет. Возможно согласование по среднему роду по аналогии со словами кафе, бистро.
Это слово согласуется по мн. ч.: новые ясли-сад построены.
Правильно согласование по мужскому роду: музей-усадьба сохранился.
Это слово склоняется как прилагательное (имеет адъективное склонение).
Это существительные среднего рода.
Это название употребляется как существительное, имеющее формы только множественного числа (как ножницы). Поэтому род у него не определяется.
