Верно слитное написание: позапозавчера, послепослезавтра.
Да, существует.
Аллергенный = "вызывающий аллергическую реакцию".
Слово аллергичный не употребительно (правильно: аллергический).
Такая форма существует в языке, но она неупотребительна. Вместо нее используют р. п. слова мечтание – мечтаний.
Возможны те и другие сочетания в зависимости от контекста. Например: возьми из ящика, возьми в другой комнате.
В речи этого кинолога такое слово существует, в литературном языке - нет.
Нет такого слова.