Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Запятые не требуются: Я был сосредоточен на разговоре и придуманных мною утонченных прозвищах!
Собирательное числительное (двое юношей) предпочтительно, но не строго обязательно.
Запятая перед и вот нужна.
Сочетание корректно. Забор — процесс по глаголу забирать.
Обороты, присоединяемые предлогом «на основании», могут обособляться. См. «Справочник по пунктуации».
Употребление слова конник корректно. Оно зафиксировано в словарях русского литературного языка со значением 'спортсмен, занимающийся конным спортом'.
Знаки препинания расставлены верно.
Основа одна, но подлежащих - два.
Есть, например: Мы пришли на шоу.
