Написания, представляющие собой сочетания цифр и окончаний слов, не подлежат переносу. Рекомендуется писать 1820–1830-х на одной строке.

Да, есть. В большинстве словарей приводится слово мужского рода — шлепанец.

Если в предложении с опущенным подлежащим глагольное сказуемое стоит в форме прошедшего времени, такое предложение считается неполным двусоставным. В определенно-личных предложениях глагольное сказуемое должно стоять в форме 1-го или 2-го лица настоящего или будущего времени или в форме повелительного наклонения.

Грамматически в этих примерах два слова: определяемое слово (Волга, царь) со следующим непосредственно за ним однословным приложением (матушка, батюшка). Лексически подобные сочетания имеют тенденцию превращаться в устойчивые выражения (фразеологизироваться), поэтому могут восприниматься носителями языка как одна языковая единица.

Двухсотпятидесятисемиугольник — это одно слово. В им. падеже в слове выделяется нулевое окончание, в косвенных падежах ед. числа и во всех формах мн. числа окончание выражено материально, ср.:
двухсотпятидесятисемиугольник-Ø,
двухсотпятидесятисемиугольник-а,
двухсотпятидесятисемиугольник-у и т. д.;
двухсотпятидесятисемиугольник-и,
двухсотпятидесятисемиугольник-ов и т. д.

Слово экстремальный не проверяется словом экстремум, так как значения их (при общности происхождения) достаточно далеки друг от друга.

Прилагательное Чебаркульский здесь действительно начинается с прописной буквы, но не потому, что оно образовано от названия города, а потому, что это первое слово в названии организации.

В этом случае приставка пишется слитно.

Большой Трианон — это всё-таки в первую очередь дворец. Пишем без кавычек, как и названия других архитектурных памятников, ср.: Зимний дворец, Дворец дожей. О парке можно сказать, например, так: сады Большого Трианона.

Выражению посвящена статья Е. Мельниковой «Мне это откликается: новое управление?» в свежем номере журнала «Русская речь». Более подробного ответа на Ваш вопрос не найти. Автор пишет: «Рассмотренная конструкция представлена главным образом в разговорной речи. Новое значение глагола откликаться и его новое управление не фиксируются нормативными словарями. Результаты влияния разговорной речи на литературный язык, по мнению Л. П. Крысина, „нередко ... оцениваются как нарушение традиционной синтаксической нормы, но в них можно видеть и зарождение неких новых тенденций в построении высказывания“».