Правильно: (жить) на Украине.
Имя и фамилия физика обычно склоняются (правильно: изобретение Николы Теслы). Несклоняемой остается эта фамилия в составе технического наименования (трансформатор Тесла) и, по рекомендации некоторых словарей, в качестве названия единицы измерения магнитной индукции (тесла).
Ошибок нет.
Можно поставить точку или восклицательный знак. Запятая не нужна.
В состав современного русского литературного языка слово прорешивать не входит, так говорить не следует.
Образование формы 1-го лица ед. числа глагола бдеть затруднительно.
На нашем портале нет сервиса автоматической проверки пунктуации. Но есть словарь-справочник, посвященный пунктуационным трудностям.
Да, запятую надо поставить.
Правильно: Островский район, хотя город Остров. Ср.: Белгород, но Белгородская область. Русский язык не любит, когда после ударного слога остается много безударных.
Да, можно поставить интонационное тире.
