В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.

Корректная пунктуация: Примечателен и даже показателен момент, когда Ольга приходит к другу просить искупления за смерть Андрея.

Корректно слитное написание (можно заменить синонимом без не: «далеко»).

Если предложение из официально-деловой речи, где важна точность, то лучше выбрать второй вариант. В менее строгих условиях возможен и первый вариант, если смысл понятен по контексту.

Склонять эту аббревиатуру не следует.

Правильно: Без знаний жизнь не мила. В данном случае не мила — это краткое прилагательное в позиции предиката (сказуемого), и сочетание его с частицей не призвано выразить отрицание называемого признака. 

Эти слова не зафиксированы ни в одном словаре, их не следует употреблять. В тексте можно использовать описательный оборот: выходящий каждые две недели, два раза в месяц.

Запятая перед и не нужна.