Названия факультетов и кафедр пишутся строчными. Институт пишется с прописной только как первое слово официального названия.
Приведенный фрагмент действительно не соответствует тому, что в школьной практике принято называть повествованием. См. «Словарь методических терминов». Часто детям предлагается такой прием проверки: повествовательный сюжет можно представить в виде фотографий, последовательно фиксирующих происходящие события. В приведенном фрагменте о Маленьком Муке не перечисляются конкретные, последовательно происходящие события, а описываются события регулярные. Конечно, вызывает сомнение необходимость подобных упражнений в школе, но такова школьная традиция.
Возможны те и другие сочетания в зависимости от контекста. Например: возьми из ящика, возьми в другой комнате.
Лучше написать "из управления".
Запятые не нужны. Не обособляется деепричастный оборот, если перед ним стоит усилительная частица и.
Запятая ставится по усмотрению автора (если считать полностью цифровая пояснением, то запятая ставится).
Корректно: отдел внешних коммуникаций и управления карьерой.
