Дело в том, что «Краткий справочник по оформлению актов Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации» фиксирует именно те написания, которые приняты в современной официальной документации. В своих ответах мы нередко подчеркиваем, что некоторые рекомендации этого справочника противоречат орфографическим и пунктуационным нормам. Но игнорировать это издание и рекомендовать, например, написания Государственная дума или Военно-морской флот РФ (верные с лингвистической точки зрения), прекрасно зная, что они не соответствуют нормам официальной речи, мы не можем, это будет не совсем честно по отношению к нашим читателям.

Существительным километр управляет слово тысяча, которое по своим грамматическим свойствам является существительным. Форма управляемого существительного во всех сочетаниях с главным словом тысяча сохраняется: тысяча километров, в тысяче километров, в двух тысячах километров, двумя тысячами километров, но в двух километрах, двумя километрами (два — числительное, а в формах косвенных падежей числительное согласуется с существительным, а не управляет им). О грамматических свойствах числительных и слов тысяча, миллион, миллиард и т. п. можно прочитать в учебниках русской грамматики, например в учебнике Е. И. Литневской на нашем портале.

В этом случае корректно множественное число: ...которые они проводят... или ...проводимые ими...

Глаголы движения и чувствования часто используются при обозначении процессов и состояний, переживаемых людьми. При этом сочетаемость тех или иных слов, даже тематически близких, может различаться. При лексическом выборе, на наш взгляд, лучше руководствоваться общим правилом подбора точных, ясных и понятных для читателя или слушателя слов.

Вы предложили совершенно верные варианты. 

В современном русском литературном языке обобщающее слово и ряд однородных членов согласуются в падеже: при использовании следующих единиц: слов, предложений, фрагментов текста... Однако в документах официально-делового стиля, не допускающих двусмысленности в интерпретации, это требование, как правило, игнорируется.