В научной статье лучше выбрать форму Великолуцкий уезд, соответствующую старому произношению (такое написание принято, например, в БРЭ). В материале для широкого читателя предпочтителен тот же вариант, но стоит указать в сноске при первом упоминании, что современная форма прилагательного от Великие Луки — великолукский.

Мы не рассказываем истории, а отвечаем на конкретные вопросы. О древнерусском языке много написано, книги можно взять в библиотеке, например в РГБ (кстати, в электронном каталоге можно найти научную литературу, открытую для просмотра). Полезна будет библиография к статье о древнерусском языке в БРЭ. 

Тире нужно. А правило звучит так: тире ставится в расчлененных (двучленных) заголовках, представляющих собой неполные безглагольные предложения, в которых имеются слова со значением субъекта действия, объекта, обстоятельства, отвечающие на вопросы «кто — чему?», «кто — куда?», «что — куда?», «что — как?», «что — где?» и т. п.

Если говорить об орфографически правильном написании, оно было бы таким: ГУ «ВШЭ», Государственный университет «Высшая школа экономики».

Знак дефиса (орфографический) в официальном полном наименовании, конечно же, следовало бы заменить на пунктуационный знак тире. Дефис в аббревиатуре обосновать можно: аббревиатура – это единое слово.

Многоточие (именно так называется этот знак препинания) ставится для обозначения незаконченности высказывания, причем знаки вопросительный и восклицательный, если они требуются характером предложения, сохраняются перед многоточием, например:

Простите, государь!.. Стоять я не могу... Мои колени слабеют...
Душно... Душно... Где ключи? Ключи, ключи мои!..

В тех названиях городов, где компонент Сити по-русски пишется, он пишется с прописной буквы: Атлантик-Сити, Канзас-Сити, Кесон-Сити. Но Mexico City, New York City по-русски называются Мехико, Нью-Йорк.

Мехико и Мексика по-испански называются одинаково: México. Неодинаковое написание в русском языке объясняется традицией.

В строгой деловой речи (в контекстах, где на первое место выдвигается сообщение о должности или занятии независимо от пола называемого лица) выбирается мужской род. Например, в приказе: заведующим кафедрой назначена... В обиходной письменной и тем более устной речи предпочтительна форма женского рода.

Республика пишется с прописной только в официальных названиях государств. В значении 'форма правления' верно написание со строчной: провозгласить республику, движение за республику. Впрочем, в контекстах, где слову республика придается особый высокий смысл (например, в лозунге Да здравствует республика!), возможно и написание с прописной.

В случае если  – составной подчинительный союз (а не стык союзов, где наличие запятой обусловлено отсутствием слова то и наоборот). Запятая ставится только при интонационном распадении союза на две части. Как правило, запятая не ставится, если союз в случае если начинает собой предложение.