С точки зрения норм современного русского языка оба варианта корректны, поэтому вопрос только в том, какое сочетание закрепится в качестве термина. Пока что, насколько мы можем судить, уверенно лидирует термин психологическая гибкость. 

Как можно судить по свидетельствам в интернет-источниках, выражение играть на побитка используют, когда говорят о спортивной игре, в которой победитель очередной партии остается на поле «боя» и соревнуется с новым соперником.

Представляется достаточным писать только первое слово с прописной, это уже будет сигналом того, что речь идет о собственном наименовании. К тому же слово охота, насколько можно судить, используется здесь в значении, близком к основному.

1. Конструкция Зачастую даже не встретившись вовсе не является предложением, поэтому невозможно судить о ее пунктуационном оформлении.

2. Если ударение в имени Лахджа падает на первый слог, то форма его творительного падежа — Ла́хджей. 

Судить о правописании этого прилагательного трудно. Во-первых, оно не отмечается словарями (трудно даже найти аналогии). Во-вторых, не вполне ясно значение прилагательного: если имеется в виду "красный как мясо", то так и следует писать, или - "цвета мяса".

Вместо "завести уголовное дело на кого-либо" обычно говорят возбудить уголовное дело (по факту преступления, на основании заявления потерпевшего и т. д.). Как мы можем судить по Уголовно-процессуальному кодексу, дело возбуждается не против какого-либо лица, а по информации о преступлении.

Повторяющиеся союзы и... и... и ни... ни... — это разные союзы, и постановка знаков препинания в конструкциях с ними может регулироваться разными правилами. И действительно, в параграфе 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина указано, что «запятая может не ставиться» при однородных членах предложения, связанных союзом и... и..., «образующих тесное смысловое единство»: Кругом было и светло и зелено  (Т.); И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом (П.). Для однородных членов предложения, связанных союзом ни..., ни..., такого допущения нет. Есть только указание о «цельных фразеологизированных сочетаниях с повторяющимися союзами и… и, ни… ни» типа и там и сям, ни то ни сё. Сочетание ни то, ни другое не фразеологизировано, в отличие от сочетания ни то ни сё (о чём-то или о ком-то посредственном, невыразительном).

Вообще говоря, приведенные Вами примеры различаются значением. Частично названное Вами явление объясняется семантической диффузией (в англоязычной лингвистике используется термин ambiguity) и синтаксическим параллелизмом.

Пока что это слово в написании кириллицей не зафиксировано нормативными словарями современного русского языка, так что лучше пользоваться оригинальным написанием. Однако, наколько мы можем судить, сегодня наиболее широко распространены варианты, передающие звучание слова: Линкедин и ЛинкедИн (отчасти передающий графическую особенность оригинала).