Запятая нужна: Он повернулся проверить, не прибыл ли посыльный.
Запятые не нужны.
Пунктуация верна.
Что именно нуждается в проверке?
Это словарное слово. Написание проверяется по орфографическому словарю (а объясняется написанием в языке-источнике: фр. métropolitain от chemin de fer métropolitain «столичная железная дорога»).
Нет, мы не оказываем таких услуг. Вы можете обратиться к нашим коллегам: http://neoko.ru/
Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
Да, именно так и можно.
Инфинитив может быть только отгулять. Глаголов *отгулить, *отгулеть и проч. не существует. Если инфинитив оканчивается на -ать/-ять, причастие или отглагольное прилагательное оканчивается на -анный/-янный: отгулянный отпуск.
