В «Русском орфогарфическом словаре» РАН прилагательные серпуховский и серпуховской (именно от названия города Серпухов) зафиксированы как равноправные. Что касается названия улицы, то словарь «Имена московских улиц» приводит оба варианта: Серпуховский Вал и Серпуховской Вал, указывая, что второй вариант правильнее.

Верно:

Николоямская набережная

Николоямская улица, до 1993 г. Ульяновская улица

Николоямской переулок

Николоямской тупик

• Агеева Р. А. и др. Имена московских улиц: Топонимический словарь. М., 2007.
• Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010.
• Москва: Энциклопедия. М., 1997.

В современном русском письме такие написания не приняты. Корректно писать просто город Москва. Обозначить в документе тождество развернутого и краткого наименования можно с помощью конструкции: город федерального значения, административный центр Центрального федерального округа и центр Московской ...Москва (далее — город Москва).

С прописной буквы пишется первое слово официального названия предприятия, учреждения и входящие в состав названия имена собственные. Корректно: региональное управление ФМС, воронежское управление ГИБДД (неофициальные названия), но: Управление Федеральной миграционной службы по Московской области, Управление ГИБДД ГУ МВД России по Воронежской области (официальные названия).

Прилагательное на -ский, образованное от собственного имени, пишется со строчной буквы, кроме тех случаев, когда оно стоит в начале составного названия. Вопрос в том, приводите ли Вы в предложении официальное название библиотеки или даете описательный оборот. Ср.: учиться в московской школе и учиться в Московском государственном университете. 

В подобных прилагательных обе части будут писаться с прописной буквы только в том случае, если прилагательное является первым словом в составном географическом и административно-территориальном названии, в названии исторического события, учреждения, памятника и т. п. В остальных случаях такие прилагательные пишутся строчными. Ср.: нью-йоркские улицы и Нью-Йоркский музей современного искусства, орехово-зуевские школьники и Орехово-Зуевский район Московской области.

Прилагательное, образованное от нарицательного существительного егерь, пишется без мягкого знака: егерский. Что же касается гидронима (названия водоема), то мягкий знак в нем мог появиться в силу того, что собственные имена подвержены подобного рода графическим и орфографическим изменениям. Наконец, нельзя исключать банальную ошибку.

Словарь "Имена московских улиц" приводит в качестве правильного именно вариант без мягкого знака: Егерский пруд (в Сокольниках).

Если следовать правилам деления на слоги, соответствующим традициям Московской фонологической школы (см. ответ на вопрос № 249871), границу фонетического слога следует провести перед двойным сонорным, т. к. на месте стечения одинаковых согласных мы реально произносим один долгий согласный звук: со-нный [со́-ный], аналогично ко-рри-да, ва-нна-я. Однако если речь идет о слоге для переноса, следует разделить одинаковые согласные: сон-ный, кор-ри-да, ван-ная.

Словарные рекомендации: Пленум Верховного суда РФ, Пленум Высшего арбитражного суда РФ (Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011); Пленум Верховного суда Российской Федерации, пленум ВЦСПС, пленум правления Московской писательской организации, Пленум ЦК КПСС (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? – 7-е изд., перераб. и доп. М., 2005). Таким образом, написание слова пленум зависит от контекста. Разнобой в ответах устранен.

Форма родительного падежа мн. числа существительного мольба малоупотребительна. Некоторые словари пишут, что такой формы у этого слова нет. Тем не менее в художественных текстах изредка встречаются примеры использования формы мольб. Например: В удивлении я вытащил имеющиеся у меня десять долларов, которые моментально сграбастал ненасытный увеселитель, — и только после мольб моих и моих спутников он выдал мне 50 центов на обратный путь. В. В. Маяковский, Мое открытие Америки.