Слово Курщина существует в русском языке и встречается в произведениях писателей XX века, например: В крутом, поголовном хмелю убирается урожай на Курщине (Ю. Нагибин. Дневник. 1954); Еще долго оставались на полях Орловщины и Курщины разбитые танки и самоходки, не так-то просто было собрать и вывезти эти махины (К. Ваншенкин. Рассказ о потерянном фотоальбоме. 1973).
Да, знаки препинания расставлены верно.
Это причастие. Не забудьте поставить запятую (обособить причастный оборот).
Такой перенос возможен, он не нарушает ни одного из правил переноса.
Предпочтительно: написано восемь сочинений.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Да, несмотря на общее правило (об отсутствии точки в заголовке), в изданиях для начинающих читать детей точку в заголовке сохраняют, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку.
Фраза неудачна, лучше ее перестроить. Например: Инициатива борьбы с коррупцией должна исходить...
Слитное написание корректно.