Нет, это женское имя не склоняется.
Названия племен, народов пишутся без кавычек и со строчной буквы, приведем несколько примеров из академического «Русского орфографического словаря»: апачи, гунны, дауры, манси, маори, мещера, мурома, словене, тонга. Так же пишутся и названия, состоящие из двух частей, см., например, статью мяо в «Большой российской энциклопедии».
См. в пособии Е. И. Литневской.
Корректно написание Мышиный король (имя собственное, выраженное прилагательным, с последующим родовым словом). Ср.: Маленький принц, Снежная королева, Спящая красавица, Скупой рыцарь и др.
Предложение неудачно.
Правильно без точки после кавычек, поскольку прямая речь оканчивается знаком конца предложения, в данном случае вопросительным.
Карельское село Видлица славится своей красотой. Жители и гости Видлицы любуются окрестными пейзажами, а начальник пожарной части села Видлица в это время дежурит на боевом посту.
