Все три варианта корректны.
Некорректно: "его зовут кронпринц" (кронпринц - это не имя).
Верно: Твои глаза не слепнут, когда ты глядишь...
Тире не ставится.
Так говорят о том, кто слезлив, часто и беспричинно плачет.
Ошибки нет. Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода. Поскольку неизвестен пол будущего главы администрации, выбирается мужской род (т. к. женский будет однозначно указывать на то, что глава администрации будет женщиной).
Глава в значении 'руководитель' может употребляться как существительное и мужского, и женского рода – в зависимости от пола руководителя.
Правильно со строчной буквы.
Сочетание "слезы отуманили глаза" возможно.
Мои глаза твоих искать не станут? Такая фраза возможна.