Корректно: работа в отделении.
Выбор формы зависит от контекста. Ср., например: делать что-либо в обход начальника отделения (т. е. без согласования с ним).
Если имеется в виду, что сам начальник отделения совершал обход, то правила выбора между родительным и творительным падежом такие. К творительному падежу обычно прибегают, когда в случае употребления родительного падежа неясно, кто совершал действие. Например, в конструкции непонимание критика привело к скандалу смысл неясен: то ли сам критик кого-то не понял, то ли не поняли критика. Вот в этом случае и придет на помощь творительный падеж: чтобы подчеркнуть, что кого-то не понял сам критик, следует выбрать вариант непонимание критиком.
Если же из контекста ясно, о чем идет речь, то употребляется родительный падеж. Корректно: обход начальника отделения, если из контекста читателю будет понятно, что обход совершал сам начальник.
Правильно: (учиться, преподавать) на каком-либо отделении.
Во всех приведенных примерах прилагательные лучше писать слитно, поскольку их можно заменить синонимами без не.
Правильно: в отделение.
Верно: в третьем классе.
Корректно: заведующий отделением, заведующие отделениями.
Знаки препинания расставлены верно.
