Верно: семье Васильевых.
Если имеются в виду два года (а не, например, учебный год), то верно: годы.
Это сложноподчиненное предложение с придаточным присоединительным. Союзное слово что (в данном случае — с предлогом и в родительном падеже) вмещает в себя содержание главной части. Бессоюзным предложение станет, если заменить после чего на после этого.
Поскольку слово употреблено в необычном, переносном значении, которое не фиксируется большинством нормативных словарей, то уместно будет написать его в кавычках: "семья".
Правильно: благодарность объявляется семье Ивановых.
Горд за кого-что корректно.
При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семье Граф.
Такое сочетание корректно, но это не единственный возможный вариант (окончить школу - тоже верно).
Верно: сезон отчетности, сезон отчетов.
