Правильно без точки после кавычек, поскольку прямая речь оканчивается знаком конца предложения, в данном случае вопросительным.
Корректны сочетания из двух глаголов в одинаковой форме, запятая в таких сочетаниях не ставится: поди угадай или попробуй угадай.
Правильно: читаю Достоевского.