Правильно: носков. Некоторые словари признают правильной также форму носок.

Оба варианта правильные.

Правильно: нет носков. Некоторые современные словари считают форму нет носок также нормативной.

Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Сейчас допустимыми признаются оба варианта, хотя раньше вариант для носок расценивался как неправильный.

Сейчас допустимыми признаются оба варианта, хотя раньше вариант без носок расценивался как неправильный.

Кавычки не нужны.

Кавычки не требуются.

См. ответ № 213919 .

Подготовкой полного и отвечающего современному состоянию русского языка текста правил русского правописания занимается Орфографическая комиссия при Отделении историко-филологических наук Российской академии наук, в состав которой входят лингвисты, преподаватели вузов, методисты, учителя средней школы.
Что касается словарей, в которых фиксируются нормы правописания и произношения, то эти словари издаются различными лингвистическими учреждениями, в том числе Институтом русского языка им. В. В. Виноградова РАН, Институтом лингвистических исследований РАН и др.