Правильно: построили 317 новых грузовых самоходных судов.
Верно: у меня есть четыре новые (новых) юбки.
Корректна форма ед. числа: В клинике появилось новое оборудование на сумму...
Да, Вы правы. В названии праздника слово новый пишется с прописной буквы: Поздравляем с Новым годом! В значении 'следующий год, наступающий год' новый год пишется со строчной: Желаем Вам успехов в новом году.
Об исторической эпохе: раннее Новое время.