Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Корректно: посмотрел на Льда.
Предложный падеж с местным значением: в зимнем лесу.
Устойчивый оборот на старости лет означает "в преклонном возрасте, в последний период жизни".
Этот оборот характеризуют как существительное с предлогом в значении единого производного предлога или как предлог (см., напр.: Русская грамматика (М., 1980. § 1659); «Объяснительный словарь русского языка. Структурные слова: предлоги, союзы, частицы, междометия, вводные слова, местоимения, числительные, связочные глаголы» под ред. В. В. Морковкина (М., 2003).
Падежи правильные, а порядок слов - нет.
Не ставится тире, в остальном все верно.
Правильно: действует в течение пяти лет.
