Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова правильно с предлогом В.
Склоняется только мужская фамилия Гайшун: Гайшуна, Гайшуну и т. д.
В предложении Летом мы ремонтировали крышу дома слово дома является дополнением. Кто-то, видимо, ошибочно решил, что существительное не может управлять дополнением, а зависимое сущ. при нем всегда является несогласованным определением. На самом деле существительные вполне могут управлять дополнениями; в частности, в данном случае главное слово — крыша — обозначает часть целого, и при таких сущ. регулярно использование в качестве дополнения слова, обозначающего то целое, часть которого названа. Вот, скажем, в словосочетании ограда Летнего сада зависимый компонент действительно является несогласованным определением.
Правильно слитное написание, оно зафиксировано в словаре Б. З. Букчиной «Слитно? Раздельно? Через дефис?» (М., 2013).
Это местоименное наречие, неизменяемое слово. Соответственно, это и есть начальная форма, она же единственная.
