Синтаксическая связь в словосочетании надеть пальто обозначена в наших ответах как управление неизменяемым словом, то есть всё же управление. То же самое можно сказать и о синтаксической связи в остальных приводимых Вами словосочетаниях.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Запятая нужна: это сложноподчиненное предложение с придаточным изъяснительным.
В зависимости от значения глагол нагнать управляет винительным или родительным падежом существительного. См. соответствующие словарные статьи в «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова и справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке».
Верно: генерировать идеи. Вариант генерить сленговый.
Верно: идеи подарков.
Корректно: в ФАП.
Такое сочетание некорректно. Правильно: мне не стоило этого делать, ей не следовало идти туда.
