В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
О падеже: нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.
Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.
Заведующая. Но допустимо в некоторых текстах и заведующий.
По идее должно быть: заведующая филиалом библиотеки.
Верно: заведующая гостиницей.
Верно: заведующая амбулаторией.
См. ответ на вопрос № 194749.
Правильно: заведующая филиалом.
Запятая в обоих случаях не нужна.
В газете лучше: заведующая.
