Официальное наименование звания — Герой Российской Федерации. Как неофициальное наименование используется сочетание Герой России.
Правильно: гелевые губы (от гель, не от гелий).
Притяжательные прилагательные на -ов (-ев), -ин пишутся с прописной буквы (но только если не входят в состав терминов и фразеологических оборотов, ср.: бикфордов шнур, филькина грамота). Правильно: Левитанова выставка, Левитанова рука.
Правильно: гелевая ручка. Гелевый – прилагательное от гель, гелиевый – от гелий (гелиевое ядро).
Запятая не нужна, т. к. союз и связывает две части сложносочиненного предложения, каждая из которых представляет собой безличное предложение.
Оба варианта верны.
Здесь "и не" = "ни". Ср.: ни бог, ни царь, ни герой; ни бог, и не царь, и не герой; ни бог, ни царь и не герой.
