Оба слова в кличке нужно писать с прописной: Рыжий Пес.
Кавычки не требуются.
Запятая нужна.
Верно: мечтаю о еще одной собаке.
Первый вариант предпочтителен.
Конструкция представляет собой сложноподчиненное предложение. Между его частями в общем случае ставится запятая: Если собака, то компаньон. Поскольку в главной части, стоящей после придаточной, есть слово то, может быть поставлено и тире (см. пункт 1 параграфа 124 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Если собака – то компаньон.
В данном случае верно: ее зовут Джек.
В этом предложении пунктуация вариативна.
Д. Э. Розенталь о подобных примерах писал так: оборот с как не выделяется запятыми, если на первый план выступает значение обстоятельства образа действия (оборот с как можно заменить формой тв. падежа). Ср.: Ветер злой собакой трепал и рвал одежду людей.
Однако возможно и обособление. Анализируя предложение из стихотворения М. Ю. Лермонтова Она ускользнет, как змея, порхнет и умчится, как птичка, Д. Э. Розенталь рассуждал таким образом: «Мы можем допустить, что в последнем случае автору важно было создать художественные образы путем, так сказать, чистого сравнения (подобно змее, подобно птичке, хотя сравнение сохраняется и в сочетаниях ускользнёт змеей, умчится птичкой, но с добавочным оттенком образа действия)». См.: Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Пунктуация. М., 2004.
«Специальные» глаголы со значением 'родить детеныша' употребляются только по отношению к домашним животным, разводимым человеком (если можно так выразиться – хозяйственно значимым животным). Отдельного обозначения для родов мышей и крыс в языке нет.
