Да, можно. Фраза «с наступающим» является формой поздравления, которую можно использовать перед любым праздником или событием.

День России — поясняющее приложение к существительному праздник, оно согласуется с ним и обособляется: В связи с праздником — Днем России — 12 июня режим работы будет изменен.

Запятые, кроме запятой перед союзом или, не нужны. Обратите внимание, что в двойном составном названии (а это, судя по всему, именно оно) с прописной буквы пишется также и первое слово второго названия (см. параграф 108 Правил русской орфографии и пунктуации): Баловень судьбы, или Кот Василий смотрит сны после плотного обеда жарким летним днём на даче у бабушки.

Между элементами друг и враг не просто соединительные, а соединительно-противительные отношения, едва ли позволяющие не ставить запятую: и друг, и (всё-таки) враг. Эти отношения отличаются от тех, которые наблюдаются в примерах сочетаний с тесными смысловым единством компонентов, приводимых, например, в параграфе 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.): Кругом было и светло и зелено (Т.); И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом (П.). Обратите внимание, что между подлежащим и сказуемыми-существительными предпочтительно тире: Я считаю, что интернет — и друг, и враг.

Вы написали правильно. 

Сочетание сегодняшний день, изначально плеонастичное, уже вошло в литературный язык и нарушением нормы не является. Например, «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова фиксирует: На сегодняшний день (в настоящий момент). Жить сегодняшним днём (не думая о будущем). Выражение на сегодня вместо на сегодняшний день, конечно, тоже можно использовать.

Запятая нужна. 

Предлог не нужен. 

Повторять предлог не нужно: Поздравляю с профессиональным праздником — Днем энергетика.

Верно: Сегодня мы поздравляем с днем рождения замечательного сотрудника Татьяну Сергеевну Иванову!