Правильно: в течение всего игрового процесса в знач. 'во время всего игрового процесса'. Предлог в течение (чего-либо) 'во время, в продолжение чего-либо' пишется с е на конце.

На то, что в течение — это предлог, указывает его значение "на протяжении какого-либо отрезка времени" и роль в предложении: здесь в течение можно свободно заменить на предлог в продолжение.

Верно: нет возможности посещать тренировки в течение недели.

В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.

Правильно: В продолжение нашего разговора отправляю Вам письмо.

См. ответ 286025.

Следует отличать существительные с предлогами в следствие, в следствии и в продолжение, в продолжении от производных предлогов вследствие и в продолжение.

Ср. предложения: Областная прокуратура прибавляет от себя обвинения в оскорблении «потерпевших» и вмешательстве в следствие; Министр Залеский в интервью американскому агентству «Юнайтед пресс» заявил, что любая пострадавшая сторона... имеет право участвовать в следствии и Он решил, что холодная рассеянность во всяком случае всего приличнее и вследствие сего приготовился. В первых двух предложениях следствие – существительное, оно имеет значение 'выяснение, расследование обстоятельств, связанных с преступлением'. В третьем предложении вследствие – предлог, его синонимы: по причине, из-за чего-либо.

Теперь ср.: Вкладывать деньги в продолжение модернизации нефтепереработки в России нефтяники перестали еще год назад; Важнейшая роль компаний состоит в продолжении геологоразведки... и Удаление Степана Богдановича из Варьете не доставило Римскому той радости, о которой он так жадно мечтал в продолжение нескольких лет. В первых двух предложениях содержится существительное продолжение – 'то, что продолжили'. В третьем – предлог в продолжение, указывающий на время; синонимы: в течение, на протяжении чего-либо.

Запятая не требуется.

Предлог в продолжение (чего-либо) пишется раздельно.

То есть Анатолий Евгеньевич предлагает отступить от правила. Почему нет?

В диалектных словарях их как раз и можно найти.